現代代数学

指輪

数論におけるリング

別の方向では、Ernst Kummer、Richard Dedekind、およびLeopold Kroneckerなどのドイツの数学者による数論の重要な進歩は、代数的整数の環を使用しました。（代数整数は、x ⁿ + a ₁ x ⁿ⁻¹ +の形式の代数方程式を満たす複素数です

。

+ a _n = 0ここで、係数a ₁、

。

、a _nは整数です。）彼らの研究は、そのようなリングに理想の重要な概念を導入しました。これは、関係するリングの外側の「理想的な要素」で表すことができるため、いわゆるです。後半19世紀にドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトは、X多くの変数を使用して多項式（代数的表現についての古い問題を解決するための理想を使用し_1を、xは_2を、xは_3を、

。

）。問題は、有限数の変数を取得し、多くの場合、多くの多項式で生成できる理想を決定することでした。ヒルベルトの方法は問題を解決し、彼ら全員がこの特性を持っていることを示すことによってさらなる調査をやめました。彼の抽象的な「引き継ぎ」アプローチは、ドイツの数学者Paul Gordonに「Das ist nicht Mathematik、das ist Theologie！」と叫んだ。（「それは数学ではなく、それは神学です！」）。現代代数の力がやってきた。

リングは、次の例に示すように、数学の問題を解くときに自然に発生する可能性があります。2つの平方の合計として記述できる整数はどれですか。つまり、整数nをa ² + b ²と書くことができるのはいつですか？この問題を解決するには、nを素因数に因数分解することが有用であり、a ² + b ²を（a + bi）（a − bi）として因数分解することも有用です。ここで、i ² = −1です。質問は、aとbが整数であるa + biの数で言い換えることができます。この数のセットはリングを形成し、このリングでの因数分解を考慮することにより、元の問題を解決できます。この種のリングは、数論において非常に役立ちます。

代数幾何学におけるリング

リングは代数幾何学で広く使用されています。y ² = x ³ + 1のような2つの変数の方程式によって与えられる平面内の曲線を考えます。図に示されている曲線は、方程式を満たすすべての点（x、y）で構成されています。たとえば、（2、3）と（-1、0）は曲線上の点です。2つの変数のすべての代数関数は、曲線のすべての点に値を割り当てます。たとえば、xy + 2xは、値（10）を点（2、3）に割り当て、値-2を点（-1、0）に割り当てます。そのような関数は、一緒に追加および乗算することができ、元の曲線を研究するために使用できるリングを形成します。y ²やx ³ + 1など、曲線のすべての点で互いに一致する関数は同じ関数として扱われるため、リングから曲線を復元できます。したがって、幾何学的問題を代数的問題に変換し、現代代数の手法を使用して解決してから、幾何学的結果に戻すことができます。

代数幾何学の研究のためのこれらの方法の開発は、20世紀の数学における主要な進歩の1つでした。この方向での先駆的な研究は、1950年代には数学者のAndréWeilによって、1960年代にはアレクサンドルGrothendieckによってフランスで行われました。

グループ理論

数論と代数幾何学の発展に加えて、現代代数には群論による対称性への重要な応用があります。グループという言葉は、多くの場合、操作のグループを指し、おそらくいくつかのオブジェクトの対称性または同様のオブジェクトの配置を維持します。後者の場合、操作は順列と呼ばれ、順列のグループ、または単に順列グループと呼ばれます。αとβが演算である場合、それらの合成（αの後にβが続く）は通常αβと記述され、逆の順序の合成（βの後にαが続く）はβαと記述されます。一般に、αβとβαは等しくありません。グループは、公理的に、閉包、結合性、単位要素、および逆（公理1、6、9、および10）の公理を満たす乗算のセットとして定義することもできます。αβとβαがすべてのαとβで等しい特殊なケースでは、グループは可換またはアーベルと呼ばれます。このようなアーベル群の場合、乗算の代わりに加算を使用して、演算がαβではなくα+βと記述されることがあります。

群論の最初の応用は、代数方程式に関する古い問題を解決するためにフランスの数学者ÉvaristeGalois（1811–32）によるものでした。問題は、与えられた方程式が剰余（通常の算術演算とともに平方根、立方根など）を使用して解けるかどうかを決定することでした。方程式のガロア群として現在知られている、解のすべての「許容」順列のグループを使用することにより、ガロアは、解がラジカルで表現できるかどうかを示しました。彼はグループの最初の重要な使用法であり、現代の技術的な意味でこの用語を最初に使用した人です。彼の仕事が完全に理解されるまでには何年もかかりました。その理由の1つは非常に革新的な性格で、もう1つは彼が自分の考えを説明していなかったためです。20歳のとき、決闘で致命傷を負いました。主題はガロア理論として現在知られています。

グループ理論は、19世紀後半にフランスで最初に発展し、次に他のヨーロッパ諸国で発展しました。初期の重要なアイデアの1つは、多くのグループ、特にすべての有限グループを、本質的にユニークな方法でより単純なグループに分解できるということでした。これらの単純なグループはそれ以上分解できなかったため、「単純」と呼ばれていましたが、それ以上分解されないために、かなり複雑になることがよくあります。これはむしろ、整数を素数の積に、または分子を原子に分解することに似ています。

1963年、アメリカの数学者ウォルターフェイトとジョントンプソンによる画期的な論文は、有限の単純なグループが正多角形の回転のグループだけではない場合、要素の数が偶数でなければならないことを示しました。この結果は非常に重要でした。なぜなら、そのようなグループにはx ² = 1のようないくつかの要素xが必要だったからです。そのような要素を使用することで、数学者はグループ全体の構造を扱うことができました。この論文は、1980年代初頭に完成したすべての有限で単純なグループを見つけるための野心的なプログラムにつながりました。これには、いくつかの新しい単純なグループの発見が含まれ、そのうちの1つである「モンスター」は、196,883次元未満では機能しません。モンスターは、数学の他の部分との興味をそそる関係があるため、今日でも課題として残っています。