論理の歴史

モデル理論の発展

ゲーデルとスコーレムによって得られた結果のような結果は、紛れもなくセマンティックでした。つまり、ほとんどの論理学者が言うように、モデル理論です。しかし、論理的意味論の一般理論はしばらくの間開発されていませんでした。ドイツ生まれの哲学者ルドルフカルナップは、意味論の体系的理論をロジスティクス構文der Sprache（1934; The Logical Syntax of Language）、Introduction to Semantics（1942）、およびMeaning and Necessity（1947）で提示しようとした。それでも彼の作品は、特にクインから鋭い哲学的批判を受け、他の論理学者はカルナップのアプローチを追求することを思いとどまらせた。

現在モデル理論と呼ばれているものの初期の建築家は、タルスキとドイツ生まれの数学者アブラハムロビンソンでした。彼らの最初の関心は主に異なる代数システムのモデル理論であり、彼らの最終的な目的はおそらくある種の普遍代数、または代数的構造の一般理論でした。しかし、1950年代後半から60年代前半にタルスキとその仲間が集中的に取り組んだ結果は、それほど一般的な理論ではなく、モデル理論の概念と手法の豊富さでした。これらの概念のいくつかは、さまざまな種類のモデルの分類に関係していました。たとえば、「poorest」（原子モデル）または「最も豊富な」（飽和モデル）などです。主にイスラエルの論理学者サハロンシェラによる、安定性理論として知られているもので、さまざまな種類のモデルのより精巧な研究が行われました。

モデル理論の重要な発展は、アメリカの論理学者キャロル・カープなどによるタルスキの影響下で開拓された無限論理の理論でした。論理式は、さまざまな方法で無限にすることができます。当初、無限大は、非常に長い選言と接続詞に関連してのみ扱われました。その後、数量詞の無限に長いシーケンスが認められました。さらに後で、あらゆる種類の部分式の無限に長い下降チェーンが存在する可能性があるロジックが研究されました。そのような文の場合、Tarski型の真理定義は使用できません。これは、より長い式の真理が定義されているという点で、最小の原子式の存在を前提としているためです。したがって、無限論理は非構成的真理定義の開発を促しましたが、これは最初は選択ゲームの概念の観点から定式化されました。

ゲームを使用して真実を定義することで、最終的にゲーム理論セマンティクスとして知られるセマンティクスの分野全体が開発され、タルスキ型のセマンティクス理論に匹敵するようになりました（ゲーム理論を参照）。このセマンティクスで真実を定義するために使用されるゲームは、定理を証明する正式なゲームではありませんが、関連する談話の世界の個人間で「屋外」でプレイされます。

証明理論とモデル理論のインターフェース

20世紀後半の論理における最も重要な進展のいくつかは、証明理論とモデル理論の両方からのアイデアを含んでいました。たとえば、1955年にエバートW.ベスなどは、ゲンツェン型の証明がフラストレーションのあるカウンターモデル構造として解釈される可能性があることを発見しました。（同じ解釈が、フィンランドの哲学者Jaakko Hintikkaによるツリー法と呼ばれる同等の証明手法に対して個別に提案されました。）GがFの論理的な帰結であることを示すために、モデルを段階的に説明しようとしますここで、Fは真、Gは偽です。そのような構造のための簿記装置は、ベスによってセマンティックタブローまたはテーブルと呼ばれていました。試みられた反例の構築がすべての可能な方向で明示的な矛盾の形で行き止まりに至る場合、Fが真であればGが真になることはあり得ません。言い換えれば、GはFの論理的な帰結です。タブローの構築のルールは、構文的には逆方向に読み取られるカットフリーのゲンツェン型のシーケンシャルルールと同じであることがわかります。

ヒルベルトの証明理論の文脈に端を発する特定のアイデアは、常用言語の数量詞のありとあらゆる（そしてもちろんそれらの象徴的な対応物）のモデル理論的意味に関する洞察をもたらしました。ヒルベルトとその仲間が使用した方法の1つは、量指定子の仕事を、ヒルベルトがイプシロン項と呼んだ適切な選択項によって実行されると考えることでした。主な考え方はおおまかに次のように表現されます。「誰かが窓を壊した」のような実存的命題の論理は、対応するインスタンス化された文「ジョンドゥが窓を壊した」を研究することによって理解できます。誰がやったか。（このような仮定されたサンプル個体は、「任意の個体」と呼ばれることもあります。）ヒルベルトは、イプシロン項の使用に関する規則を示し、すべての量指定子をそれらで置き換えることができることを示しました。

結果のイプシロン計算は、数量詞の意味の動的な側面を示しています。特に、それらの意味は、特定のクラスの値に「及ぶ」という考えによって尽きることはありません。量指定子のもう1つの主な機能は、変数がバインドされている量指定子間の形式的な依存関係に関して、変数間の依存関係を示すことです。通常の言語には変数はありませんが、そのような依存関係の概念を説明するために、口頭の例を使用できます。「誰もが少なくとも1人の敵を持っている」という文が真実であるためには、任意の人に対して、彼の敵である少なくとも1人の「目撃者」が存在している必要があります。敵のアイデンティティは与えられた個人に依存するため、敵のアイデンティティは、与えられた個人を引数として取る特定の関数の値と考えることができます。これは、例文では、数量詞の一部がすべての数量詞に依存することを簡単に言うことにより、技術的に表現されています。

一次論理の文で相互に変数の依存関係を詳しく説明する関数は、最初にスコーレムによって検討され、スコーレム関数として知られています。それらの重要性は、一次センテンスの真理がそれらに関して定義されるかもしれないという事実によって示されます：一次センテンスは、そのスコーレム関数の完全な配列が存在する場合にのみ真です。このようにして、Tarski型の真理の定義が適用されない状況で真理の概念を扱うことができます。実際、論理学者は、タルスキ型の定義が失敗したときに、タルスキが使用する種類の再帰の開始点がないか、構成性の失敗が原因で、スコーレム関数の定義（または同等のもの）を自発的に使用しました。

数量詞間の依存関係をどのように使用して変数間の依存関係を表すことができるかが理解されると、FregeとRussellに戻る量指定子の受け取られた処理は、依存関係の完全に可能なパターンの多くを表現できないという点で欠陥があることも明らかになります。それ。その理由は、量指定子のスコープには、再現できるパターンを制限する制限された構造があるためです。これらの制限が体系的に取り除かれると、「独立性に優れた」一次論理と呼ばれるより豊富な論理が得られます。これは、1990年代にJaakko Hintikkaによって最初に説明されました。通常の一次論理では表現できない基本的な論理的および数学的概念の一部は、等量性、無限大、真理など、独立性に優しい論理で一次レベルで表現可能になりました。（したがって、特定の1次言語の真理は、同じ1次言語で表現できるようになります。）独立性に配慮したロジックでは、真理は構成属性ではないため、真理の定義が可能です。独立に優しい論理の発見は、現代の論理理論の多くの側面の再検討を促しました。